Quick answer
jugar = to play a game or a sport.
tocar = to play an instrument or a piece of music (literally: to touch).
Sports normally take jugar a: jugar al fútbol. Instruments take tocar with a plain article: tocar el piano.
Side by side
Juego al baloncesto. / Toco el violín.Sport takes jugar a, instrument takes tocar plus the article.
Toca la puerta.Tocar also keeps its literal sense: knock on, or touch, the door.
Me toca a mí.It's my turn — a very common use of tocar that has nothing to do with music.
Memory trick
Can you win it? Then jugar. Does it make a sound? Then tocar.
Typical mistakes
Juego la guitarra desde los diez años.
Toco la guitarra desde los diez años.
Instruments always take tocar. <i>Jugar la guitarra</i> sounds like you are playing a game with a guitar.
Juego fútbol cada domingo.
Juego al fútbol cada domingo.
In Spain the sport needs a: jugar al fútbol, jugar al tenis. Leaving it out is a common English-driven slip.
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Fill in: "Mi hermana ___ el piano muy bien."